Pois bem, ao som de Fernando & Sorocaba, estou estudando Teoria de Probabilidades, que por sinal está contida em Estatística Matemática, que é a parte da Estatística que me faz ter colapsos de Andrei Kolmogorov, este que foi a pessoa que poderia responder "Esse cara sou eu!" quando lhe pergutassem quem foi o criador dos "Fundamentos da Teoria das Probabilidades", ou "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung", caso prefira o título em russo =)
Enfim, como vou ter prova já na quinta-feira (Sim, o professor Wagner é um baita profissional e um estatístico sinistro, porém sem consideração às ressacas culturais...hahaha) na matéria de cálculo de Probabilidades A, o negócio é estudar e os tópicos são:
* Distribuições Contínuas;
* Vetores Aleatórios;
* Esperança Matemática.
Essa postagem se refere a demonstração da esperança matemática do modelo Exponencial. Enquanto eu estava tentando demonstrar no caderno, empaquei em uma integral maldita e fui pedir socorro nos artigos da internet... não achei quase nada, somente um documento do IMPA, que já valeu muito, porém não é detalhado para quem for pegar do zero. Então, bora demonstrar e explicação essa bagaça:
A brincadeira de hoje vai ser em cima do modelo exponencial, que tem essa cara:
f(x) = αexp^-αx, para x ≥ 0
0, cc
Sim, não sei colocar equação até hoje no blog... se não der para entender assim, juro que faço um esforço para aprender a colocar :)
Para você entender bem a demonstração da esperança desse modelo, primeiro é necessário atender os seguintes pré-requisitos:
1) Saber os axiomas de probabilidade
2) Saber o que é uma distribuição contínua de probabilidades que segue um modelo Exponencial;
3) Saber o que é uma esperança matemática.
Pois bem, uma esperança para distribuições contínuas consiste em integrar o produto x*p(x), sendo p(x) o modelo em questão. Como o f(x) no caso da exponencial varia no intervalo em que x ≥ 0, então os intervalos da integral será de 0 a ∞. Se seus conhecimentos atenderam os pré-requisitos listados acima, você sabe que a esperança da exponencial é 1/α e é justamente isso que vamos demonstrar e provar.
Sabemos que X ∼ exp(α), portanto:
Vamos Integrar o produto x*αexp^-αxdx indo 0 a ∞, para resolvermos essa integral, vamos utilizar o conceito de Integração por partes e teremos que essa integral é = (−xe^-α x de 0 a ∞) menos a integral de −e^-α xdx também indo de 0 a ∞. Após os dois lados da subtração forem resolvidos e depois ela resolvida em si, chegaremos que E(X) = 1/α.Como queríamos demonstrar :)
Se por ventura o método da "decoreba" falhar, para encontrar a esperança de um modelo contínuo de probabilidades, sempre será a integral do produto de uma variável e o modelo probabilístico em questão.
Isso é o que temos para hoje. Agora já são 2:17 am, e bateu o cansaço... espero que seja útil para alguém em algum dia até o Blogger existir essa postagem, pois eu precisei aprender na marra essa demonstração e aqui ela já está bem explicadinha... Se por ventura restar dúvidas, abaixo está o link que consegui esclarecer minhas dúvidas e se ainda assim as dúvidas permanecerem, deixa um comentário que logo responderei.
http://w3.impa.br/~leorolla/papers/apostila-intr-prob.pdf
Vlw!!!
